Alt Küme nedir? Sayısı nasıl bulunur? Formülü ve sembolü

Alt küme, matematikte A ve B gibi iki ayrı öbeğin mevcut olduğu Venn şemasında gruplar arasındaki eleman ilişkilerinin açıklanmasını sağlayan bir terimdir. Örneğin, A öbeğindeki her bir elemanın B kümesi tarafından da kapsanması söz konusu olabilir. Buna ek olarak A ve B kümelerinin aynı zamanda birbirine eşit olması mümkündür. Bu durumda iki küme arasındaki ilişkinin ifade edilmesi için alt küme kavramı kullanılır. Alt küme sayısının hesaplanması için de 2 sayısıyla n harfini içeren bir formül kullanılır. Bununla birlikte matematikte alt küme gösteriminin yapılması için çeşitli sembollerden yararlanılır.

Alt küme nedir?

Alt küme, matematik biliminde önemli yer tutan ve eleman topluluklarının tanımlanmasını mümkün kılan bir terimdir. Bu kavramın ilk defa Georg Cantor tarafından ortaya atıldığı bilinir. Bununla birlikte alt küme, Venn şeması gösterimlerinin doğru bir şekilde yorumlanması bakımından kritik role sahiptir. Dolayısıyla alt kümenin matematik alanında ne anlama geldiğine yönelik olarak aşağıdaki açıklamalar sıralanmalıdır:

• Matematik biliminde A ve B temelde iki ayrı küme olarak ele alınır.
• Bir A kümesinin B’nin alt kümesi olması için de belirli şartları karşılaması beklenir.
• Bu kapsamda ilk şart, A öbeğindeki her bir elemanı B’nin de kapsamasıdır.
• Eğer A öbeğindeki her bir eleman B kümesine de dahilse bu durumda A bir alt kümedir.
• A alt kümesinin kapsayanı ise B kümesi olur.

Yukarıda sunulan açıklamalara ek olarak alt kümelerin diğer özelliklerinden de söz edilmesi gerekir. Bu bağlamda matematik alanında boş kümenin her bir öbeğin alt kümesi olarak kabul edildiği söylenmelidir. Bununla birlikte her bir küme de kendisinin alt kümesi olarak ele alınır. Bu detaylara hakim olunması ise Venn şemasında alt küme sayısının bulunması ile doğru gösterimlerin oluşturulmasını desteklediği için önem arz eder.

Alt küme sayısı nasıl bulunur?

Matematikte alt küme sayısının bulunması için ilk olarak ilgili kavramın temel özellikleri göz önünde bulundurulmalıdır. Buna ek olarak öz alt küme gibi terimlerin ne anlama geldiğinin bilinmesi gerekir. Öz alt küme, bir öbeğin kendisi dışında her bir alt kümesini temsil eder. Dolayısıyla öz alt kümenin formülü 2n-1 olarak uygulanır. Bununla birlikte bir öbeğin tüm alt küme sayısının bulunması için ise yalnızca 2n formülünden yararlanılır.

Sunulan bilgiler doğrultusunda alt küme sayısının nasıl bulunduğu üzerine bir örnek hazırlanabilir. Bu kapsamda 6 elemanlı bir öbeğin alt küme sayısının bulunacağı varsayılır. İlgili örnekte alt küme sayısını bulmak için 2n formülünden yararlanılır. Dolayısıyla n harfinin yerine kümenin eleman sayısını ifade eden 6 yazılır. Ardından 2 üssü 6 formülünün karşılık geldiği 64 sonucuna ulaşılır. Buna ek olarak ilgili örnekte öz alt küme sayısının bulunması için de 2 üssü 6’dan 1 çıkarılmalıdır. Yani 6 elemanlı bir öbeğin öz alt küme sayısı 63 olarak bulunur.

Alt küme formülü ve sembolü nedir?

Alt küme formülü 2n olarak bilinir. Bu formülün doğru bir şekilde uygulanması için n harfinin yerine kümenin eleman sayısı yazılır. Bunun yanı sıra bir kümenin öz alt küme sayısının bulunması için de 2n-1 formülünün uygulanabildiği görülür. Matematik alanında alt küme sembolünün ne olduğu ve Venn şeması gösterimlerinin nasıl yapıldığı ise aşağıdaki gibi açıklanmalıdır:

• Alt küme sembolü temelde ⊂ olarak kullanılır. Örneğin, A öbeğinin B'nin alt kümesi olduğu düşünülür. Bu örneği temsil eden alt küme gösterimi de “A⊂B” şeklindedir.
• Alt kümelerde her iki öbeğin birbirine eşit olması da mümkündür. Yani A öbeği B’nin alt kümesi iken, aynı zamanda bu iki küme birbirine eşit olabilir. Bu özellikteki alt kümelerde doğru olan matematiksel gösterim ise “A⊆B” şeklindedir.
• Matematikte boş küme, her bir öbeğin alt kümesi olarak ele alınır. Bu bağlamda ilgili açıklamayı temsil eden matematiksel gösterime de değinilmesi gerekir. Boş küme sembolü ∅ olarak kullanılır. Boş kümenin A öbeğinin alt kümesi olduğunun temsil edilmesi için de “∅⊆A” gösteriminden yararlanılır.

Yukarıda sunulan açıklamalara ek olarak alt küme gösterimlerinin kapsayan üzerinden yapılmasının da mümkün olduğu belirtilmelidir. Bu noktada A öbeğinin B’nin alt kümesi olduğu bir örnekle detaylı bilgi sunulması uygundur. Söz konusu örnekte matematiksel gösterim olarak A⊂B ve A⊆B kullanılabilir. İlgili kümelerin ilişkisi kapsayan üzerinden temsil edileceği zaman ise “B⊇A” gösterimi oluşturulur. Bu ifadeyle B kümesinin A öbeğindeki elemanların her birini kapsadığı ve ona eşit olduğu yansıtılır.